Marzo

Interpretación de la derivada

Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

m_t = f'(a)

Ejemplos

Dada f(x) = x², calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x² − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b²x³ + bx² + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.

f'(1) = f'(2)

f'(x) = 3b²x² + 2bx + 3

f'(1) = 3b² + 2b + 3

f'(2) = 12b² + 4b + 3

3b² + 2b + 3 = 12b² + 4b + 3

9b² + 2b = 0

b = 0 b = −2/9

Interpretación física de la derivada

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

Ejemplo

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t². Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2 La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t² en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 100t² , siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:

1. La velocidad media de crecimiento.

2. La velocidad instantánea de crecimiento.

3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t₀ = 10 horas.

Vector tangente y vector normal a una curva

En la sección anterior establecimos que si r( t ) = x( t ) i +  y( t ) j + z( t ) k es una curva que eventualmente denote la trayectoria de una partícula y si s = s( t ) describe la longitud de la curva en función de la variable t, entonces

Nota: este resultado se concluye bajo la ecuación (2) de la sección anterior. De tal forma que para calcular el vector tangente a la curva en un punto determinado necesitamos conocer la derivada de la  función longitud de curva s( t ), donde esta se obtiene mediante

Y es así, también, que podemos obtener una expresión analítica para la función longitud de arco, integrando esta última ecuación, esto es

Veamos un ejemplo.

Consideremos la curva r( t ) = a cos w t  i +  a sen w t  j + bw t  k.  (a, b y w constantes positivas). la derivada de esta función es

La magnitud o norma de este vector es

De tal forma que el vector tangente a la curva en un punto cualquiera está dado por

(1)

Y si queremos medir la longitud de la curva desde 0 hasta el valor de t, tenemos que

(2)

Por ejemplo, la longitud de la curva entre los puntos (a, 0, 0) y (a, 0, 2pb), puntos que corresponden a  los valores de t = 0 y t = 2p/w respectivamente, es

s( 2p/w ) - s( 0 ) = 2p (a2 + b2)1/2.

En particular, si b = 0 obtenemos simplemente el perímetro de la circunferencia de radio a, 2pa, puesto que esta hélice se proyecta como una circunferencia sobre el plano XY. Vea la gráfica.

Con este mismo ejemplo, es fácil verificar que efectivamente se cumple (siempre) que

y derivando esta igualdad respecto de la variable longitud de curva s, tenemos que

de modo que aparece otro vector a escena, y que además es ortogonal al vector tangente. ¿Cómo podemos encontrar este nuevo vector? Notemos que

(3)

Esta última igualdad se debe al teorema de la función inversa (si no recuerda este teorema haga click en el vínculo). De modo que, en nuestro ejemplo, derivando (1) respecto de t y sabiendo el valor de s'( t ), tenemos que

de manera que, según (3), nos queda

(4)

No resulta para nada complicado verificar que efectivamente el vector en (4) es ortogonal al vector tangente en (1). Si ahora hacemos unitario este vector obtenemos un vector unitario ortogonal al vector tangente, que llamaremos vector normal, y se define como

que para nuestro ejemplo

y en consecuencia

Curva de nivel